小学数学相遇问题类型和典型例题及相关奥数题
小学数学相遇问题类型和典型例题及相关奥数题
（易优数学小学数学教研组）
相遇问题是研究两个物体从两地出发，相向而行，在途中相遇的行程问题。核心公式为：总路程 = 速度和 × 相遇时间，相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和，速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间。
- 基础例题：甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行驶 60 千米，乙车每小时行驶 80 千米，A、B 两地相距 700 千米，经过几小时两车相遇？
- 解题思路：两车同时出发相向而行，相遇时所行驶的时间相同，总路程为 A、B 两地的距离，可根据 “相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和” 求解。
- 解题方法一（算术法）：先求出甲、乙两车的速度和为 60 + 80 = 140 千米 / 小时，再根据公式可得相遇时间为 700 ÷ 140 = 5 小时。
- 解题方法二（方程法）：设经过 x 小时两车相遇。根据 “速度和 × 相遇时间 = 总路程” 可列方程 (60 + 80) x = 700，化简得 140x = 700，解得 x = 5，即经过 5 小时两车相遇。
- 进阶例题：小明和小红分别从学校和家同时出发，相向而行，小明每分钟走 70 米，小红每分钟走 60 米，小明出发 5 分钟后与小红相遇，学校和家相距多少米？
- 解题思路：小明先出发 5 分钟，然后两人相遇，总路程为小明先出发 5 分钟走的路程加上两人相遇时共同走的路程。
- 解题方法一（算术法）：小明先出发 5 分钟走的路程为 70×5 = 350 米。两人的速度和为 70 + 60 = 130 米 / 分钟，因为是同时出发后相遇（这里小明先出发，相遇时两人共同行走的时间也是小红行走的时间，即题目中 “小明出发 5 分钟后相遇”，所以共同行走时间为 5 分钟），共同走的路程为 130×5 = 650 米。总距离为 350 + 650 = 1000 米。
- 解题方法二（方程法）：设学校和家相距 x 米。小明走的总路程为 70×5 = 350 米，小红走的路程为 60×5 = 300 米。根据总路程等于两人走的路程和可列方程 x = 350 + 300，解得 x = 1000，即学校和家相距 1000 米。
- 中等难度例题：A、B 两地相距 480 千米，甲、乙两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，甲车每小时行 65 千米，乙车每小时行 55 千米，相遇后两车继续前行，到达对方出发点后立即返回，从出发到第二次相遇共行了多少小时？
- 解题思路：从出发到第二次相遇，两车一共行驶了 3 个 A、B 两地的距离，即总路程为 480×3 = 1440 千米。再根据 “时间 = 总路程 ÷ 速度和” 求解。
- 解题方法一（算术法）：两车速度和为 65 + 55 = 120 千米 / 小时，总路程为 480×3 = 1440 千米，所用时间为 1440 ÷ 120 = 12 小时。
- 解题方法二（方程法）：设从出发到第二次相遇共行了 x 小时。根据总路程等于速度和乘以时间可列方程 (65 + 55) x = 480×3，化简得 120x = 1440，解得 x = 12，即共行了 12 小时。
- 较难例题：甲、乙两人在环形跑道上跑步，跑道一圈长 400 米，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 4 米，两人从同一地点同时反向出发，多少秒后两人第一次相遇？如果两人从同一地点同时同向出发，多少秒后甲第一次追上乙？
- 解题思路：反向出发时，第一次相遇两人跑的路程和是一圈的长度；同向出发时，甲第一次追上乙，甲比乙多跑一圈的长度。
- 解题方法一（算术法）：
- 反向出发：速度和为 6 + 4 = 10 米 / 秒，相遇时间为 400 ÷ 10 = 40 秒。
- 同向出发：速度差为 6 - 4 = 2 米 / 秒，追上时间为 400 ÷ 2 = 200 秒。
- 解题方法二（方程法）：
- 设反向出发 x 秒后第一次相遇，可列方程 6x + 4x = 400，10x = 400，解得 x = 40。
- 设同向出发 y 秒后甲第一次追上乙，可列方程 6y - 4y = 400，2y = 400，解得 y = 200。
即反向出发 40 秒后第一次相遇，同向出发 200 秒后甲第一次追上乙。
- 高难度例题：甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲车每小时行 50 千米，乙车每小时行 60 千米，两车在距中点 20 千米处相遇，A、B 两地相距多少千米？
- 解题思路：乙车速度比甲车快，所以相遇时乙车过了中点，甲车还没到中点，乙车比甲车多行了 20×2 = 40 千米。先求出相遇时间，再根据速度和乘以相遇时间求出总路程。
- 解题方法一（算术法）：速度差为 60 - 50 = 10 千米 / 小时，路程差为 20×2 = 40 千米，相遇时间为 40 ÷ 10 = 4 小时。速度和为 50 + 60 = 110 千米 / 小时，总路程为 110×4 = 440 千米。
- 解题方法二（方程法）：设相遇时间为 x 小时。乙车比甲车多行的路程为 60x - 50x = 10x 千米，已知多行 40 千米，可列方程 10x = 40，解得 x = 4。总路程为 (50 + 60)×4 = 440 千米，即 A、B 两地相距 440 千米。
附：相遇问题奥数竞赛题：
- 竞赛题 1：甲、乙两车从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 55 千米。甲车先出发 1 小时后，乙车才出发，再过 3 小时两车相遇。A、B 两地相距多少千米？
- 解法一（分段计算法）：甲车先出发 1 小时行驶的路程为 45×1=45 千米。接下来 3 小时，甲、乙两车同时行驶，速度和为 45+55=100 千米 / 小时，共行驶 100×3=300 千米。总距离为 45+300=345 千米。
- 解法二（方程法）：设 A、B 两地相距 x 千米。甲车共行驶 1+3=4 小时，路程为 45×4=180 千米；乙车行驶 3 小时，路程为 55×3=165 千米。可列方程 180+165=x，解得 x=345 千米。
- 竞赛题 2：甲、乙两人分别从相距 1000 米的 A、B 两地同时出发，相向而行，甲每分钟走 60 米，乙每分钟走 40 米。甲出发时带了一只狗，狗每分钟跑 100 米，狗在甲、乙之间来回跑，直到两人相遇。这只狗一共跑了多少米？
- 解法一（时间关联法）：先求甲、乙相遇时间，速度和为 60+40=100 米 / 分钟，相遇时间 = 1000÷100=10 分钟。狗跑的时间与两人相遇时间相同，所以狗跑的路程 = 100×10=1000 米。
- 解法二（比例法）：狗的速度是甲、乙速度和的 100÷(60+40)=1 倍，在相同时间内，狗跑的路程是两人总路程的 1 倍，即 1000×1=1000 米。
- 竞赛题 3：在环形跑道上，甲、乙两人同时同地反向而行，甲每秒跑 5 米，乙每秒跑 3 米，跑道长 400 米。两人第 5 次相遇时，甲比乙多跑了多少米？
- 解法一（单次相遇分析）：每次相遇两人共跑 1 圈（400 米），第 5 次相遇共跑 5×400=2000 米。相遇时间 = 2000÷(5+3)=250 秒。甲跑的路程 = 5×250=1250 米，乙跑的路程 = 3×250=750 米，甲比乙多跑 1250-750=500 米。
- 解法二（速度差法）：每次相遇时间 = 400÷(5+3)=50 秒，每次相遇甲比乙多跑 (5-3)×50=100 米。第 5 次相遇多跑 100×5=500 米。
- 竞赛题 4：A、B 两地相距 360 千米，甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，甲车每小时行 50 千米，乙车每小时行 40 千米。相遇后两车继续行驶，到达对方出发点后立即返回，第二次相遇时距离 A 地多少千米？
- 解法一（总路程法）：第二次相遇时两车共行驶 3×360=1080 千米，相遇时间 = 1080÷(50+40)=12 小时。甲车行驶路程 = 50×12=600 千米，600-360=240 千米，即距离 A 地 360-240=120 千米。
- 解法二（分段分析）：第一次相遇时间 = 360÷90=4 小时，甲车行驶 50×4=200 千米。到第二次相遇，甲车共行驶 3 个 200 千米（因为三次全程），即 600 千米，600-360=240，距离 A 地 360-240=120 千米。
- 竞赛题 5：甲、乙两人从相距 1800 米的两地同时出发，相向而行，甲每分钟走 80 米，乙每分钟走 70 米。甲出发时带了一个对讲机，对讲机的有效距离是 1000 米，多长时间后两人的距离超过对讲机的有效距离？
- 解法一（相遇前分析）：出发时两人相距 1800 米，小于有效距离？不，1800>1000，所以先求两人距离缩短到 1000 米的时间。路程差 = 1800-1000=800 米，速度和 = 150 米 / 分钟，时间 = 800÷150=5 又 1/3 分钟？不对，应该是距离从 1800 米缩短到 1000 米，再到相遇后拉开到 1000 米。正确：相遇前距离 1000 米的时间 =(1800-1000)÷150=16/3 分钟；相遇后拉开到 1000 米的时间 = 1000÷150=20/3 分钟，总时间 = 16/3 + 20/3=12 分钟。
- 解法二（方程法）：设 x 分钟后距离超过 1000 米。相遇前：1800-(80+70) x >1000→x<16/3；相遇后：(80+70) x -1800>1000→x>2800/150=56/3≈18.67？不对，正确方程：两人距离 =|1800-150x|，超过 1000 即 1800-150x < -1000→150x>2800→x>56/3≈18.67 分钟。
- 竞赛题 6：甲、乙两车同时从 A 地出发去 B 地，甲车每小时行 60 千米，乙车每小时行 40 千米，甲车到达 B 地后立即返回，在距离 B 地 20 千米处与乙车相遇，A、B 两地相距多少千米？
- 解法一（路程差法）：相遇时甲车比乙车多跑 20×2=40 千米，速度差 = 20 千米 / 小时，相遇时间 = 40÷20=2 小时。甲车行驶路程 = 60×2=120 千米，A、B 距离 = 120-20=100 千米。
- 解法二（方程法）：设距离为 x 千米，甲车行驶 x+20，乙车行驶 x-20，时间相等：(x+20)/60=(x-20)/40→40x+800=60x-1200→20x=2000→x=100。
- 竞赛题 7：甲、乙、丙三人，甲每分钟走 50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米。甲、乙从 A 地，丙从 B 地同时出发，相向而行，丙遇到乙后 2 分钟遇到甲，A、B 两地相距多少米？
- 解法一（时间差法）：设丙与乙相遇时间为 t 分钟，则与甲相遇时间为 t+2 分钟。丙乙相遇：(60+70) t = 总距离；丙甲相遇：(50+70)(t+2)= 总距离。130t=120 (t+2)→130t=120t+240→t=24，总距离 = 130×24=3120 米。
- 解法二（路程差法）：丙遇乙后 2 分钟遇甲，这 2 分钟甲丙共走 (50+70)×2=240 米，即乙比甲多走 240 米，时间 = 240÷(60-50)=24 分钟，总距离 =(60+70)×24=3120 米。
- 竞赛题 8：A、B 两地相距 240 千米，甲、乙两车同时从 A、B 两地出发，相向而行，甲车速度是乙车的 2 倍，2 小时后两车相遇。相遇后甲车立即返回 A 地，乙车继续向 A 地行驶，甲车到达 A 地时，乙车距离 A 地还有多少千米？
- 解法一（速度计算）：速度和 = 240÷2=120 千米 / 小时，乙车速度 = 120÷3=40，甲车 = 80。相遇时甲车走 160 千米，返回 A 地需 160÷80=2 小时，乙车 2 小时走 40×2=80 千米，共走 40×2+80=160，距离 A 地 240-160=80 千米。
- 解法二（比例法）：速度比 2:1，路程比 2:1，相遇时甲走 160，乙走 80。甲返回时间 = 160/80=2，乙再走 40×2=80，共 160，剩余 240-160=80。
- 竞赛题 9：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，甲走完全程需 2 小时，乙走完全程需 3 小时，两人相遇时甲比乙多走了 4.8 千米，两地相距多少千米？
- 解法一（时间比与路程比）：时间比 2:3，速度比 3:2，相遇时路程比 3:2，差 1 份 = 4.8 千米，总 5 份 = 24 千米。
- 解法二（方程法）：设距离 x，甲速度 x/2，乙 x/3，相遇时间 t=(x)/(x/2+x/3)=6/5 小时。甲走 3x/5，乙走 2x/5，差 x/5=4.8→x=24。
- 竞赛题 10：甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，相向而行，甲车先出发 1 小时，甲车每小时行 45 千米，乙车每小时行 55 千米，乙车出发后，在距离中点 15 千米处与甲车相遇，A、B 两地相距多少千米？
- 解法一（分段分析）：设乙车出发后 t 小时相遇，甲车共走 45 (t+1)，乙车走 55t。若乙过中点 15 千米，则 55t - [45 (t+1)+55t]/2=15→110t -45t-45-55t=30→10t=75→t=7.5。总距离 = 45×8.5+55×7.5=382.5+412.5=795 千米。
- 解法二（路程差）：甲车先出发 1 小时走 45 千米，之后 t 小时，乙比甲多走 55t-45t=10t。总路程差：若乙过中点，10t -45=30（因为中点差 15×2=30）→10t=75→t=7.5，总距离 = 45+（45+55）×7.5=45+750=795 千米。
