小学数学间隔问题的类型和典型例题及解题思路
小学数学间隔问题的类型和典型例题及解题思路
(（苏州易优悦读小学数学教研组）)
一、植树问题
- 基础例题：在一条长 400 米的公路一旁种树，每隔 20 米种一棵（两端都种），一共要种多少棵树？
- 解题思路：对于两端都种树的情况，棵数 = 间隔数 + 1。先计算间隔数，间隔数 = 总距离 ÷ 间隔长，即 400÷20 = 20 个间隔。那么树的棵数为 20 + 1 = 21 棵。
- 进阶例题：在一条长 540 米的街道一侧安装路灯，每隔 30 米安装一盏（一端安装，一端不安装），一共需要安装多少盏路灯？
- 解题思路：一端安装一端不安装时，棵数 = 间隔数。所以直接计算间隔数，540÷30 = 18 个间隔，即需要安装 18 盏路灯。
- 中等难度例题：在一条长 630 米的小路两旁植树，每隔 15 米种一棵（两端都不种），一共要种多少棵树？
- 解题思路：首先计算间隔数，630÷15 = 42 个间隔。因为两端都不种，所以一旁树的棵数 = 间隔数 - 1，即 42 - 1 = 41 棵。那么两旁共种 41×2 = 82 棵树。
- 较难例题：有一条公路长 800 米，在公路的一侧每隔 25 米种一棵梧桐树，每两棵梧桐树之间种 3 棵银杏树，这条公路一侧一共种了多少棵树？
- 解题思路：先计算梧桐树的数量，两端都种时，间隔数为 800÷25 = 32 个，梧桐树棵数 = 间隔数 + 1 = 32 + 1 = 33 棵。每两棵梧桐树之间种 3 棵银杏树，银杏树数量 = 间隔数 ×3 = 32×3 = 96 棵。所以公路一侧树的总数 = 梧桐树棵数 + 银杏树棵数 = 33 + 96 = 129 棵。
- 高难度例题：在一条长 960 米的道路两旁，从一端开始种树，先每隔 24 米种一棵柳树，再在每两棵柳树之间每隔 6 米种一棵杨树，这条道路两旁一共种了多少棵树？
- 解题思路：先计算柳树的数量，两端都种，间隔数为 960÷24 = 40 个，柳树棵数 = 40 + 1 = 41 棵。每两棵柳树之间距离 24 米，每隔 6 米种一棵杨树，那么每个间隔中杨树数量为 (24÷6 - 1)= 3 棵。杨树总数 = 间隔数 × 每个间隔中杨树数量 = 40×3 = 120 棵。道路一旁树的总数 = 柳树棵数 + 杨树棵数 = 41 + 120 = 161 棵。道路两旁共种 161×2 = 322 棵树。
二、锯木头问题
- 基础例题：把一根木头锯成 6 段，需要锯几次？
- 解题思路：锯木头时，锯的次数比段数少 1，所以锯成 6 段需要锯 6 - 1 = 5 次。
- 进阶例题：一根木料长 20 米，要把它锯成每段 4 米长的小段，每锯一次需要 5 分钟，锯完一共需要多少分钟？
- 解题思路：先计算能锯成的段数，20÷4 = 5 段。锯成 5 段需要锯的次数是 5 - 1 = 4 次。每锯一次需要 5 分钟，所以锯完一共需要 4×5 = 20 分钟。
- 中等难度例题：工人师傅锯木头，锯一次需要 4 分钟，锯完一根木头共用了 28 分钟，这根木头被锯成了几段？
- 解题思路：已知锯一次需要 4 分钟，总共用了 28 分钟，那么锯的次数为 28÷4 = 7 次。因为锯的次数比段数少 1，所以木头被锯成的段数是 7 + 1 = 8 段。
- 较难例题：把一根木头锯成 5 段需要 16 分钟，如果要把它锯成 10 段，需要多少分钟？
- 解题思路：锯成 5 段需要锯 4 次（5 - 1 = 4），锯 4 次用了 16 分钟，那么锯一次需要的时间是 16÷4 = 4 分钟。锯成 10 段需要锯 9 次（10 - 1 = 9），所以锯成 10 段需要的时间是 4×9 = 36 分钟。
- 高难度例题：有三根同样长的木头，把每根都锯成 4 段，一共用了 36 分钟，每锯一次需要多少分钟？
- 解题思路：一根木头锯成 4 段需要锯 3 次（4 - 1 = 3），三根木头总共锯的次数是 3×3 = 9 次。一共用了 36 分钟，所以每锯一次需要的时间是 36÷9 = 4 分钟。
三、爬楼梯问题
- 基础例题：小明从 1 楼走到 3 楼需要走 36 级台阶，每层楼之间的台阶数相同，那么他从 1 楼走到 5 楼需要走多少级台阶？
- 解题思路：从 1 楼到 3 楼，间隔数是 3 - 1 = 2 个，一共走了 36 级台阶，所以每个间隔的台阶数为 36÷2 = 18 级。从 1 楼到 5 楼，间隔数为 5 - 1 = 4 个，需要走的台阶数为 18×4 = 72 级。
- 进阶例题：小红家住在 7 楼，她从 1 楼走到 3 楼用了 30 秒，照这样计算，她从 1 楼走到家需要多长时间？
- 解题思路：从 1 楼到 3 楼，间隔数是 3 - 1 = 2 个，用时 30 秒，所以走一个间隔需要的时间是 30÷2 = 15 秒。从 1 楼到 7 楼，间隔数为 7 - 1 = 6 个，总共需要的时间为 15×6 = 90 秒。
- 中等难度例题：小张从 1 楼跑到 4 楼需要 12 秒，以同样的速度，他从 4 楼跑到 9 楼需要多少秒？
- 解题思路：从 1 楼到 4 楼，间隔数为 4 - 1 = 3 个，用了 12 秒，所以每跑一个间隔需要的时间是 12÷3 = 4 秒。从 4 楼到 9 楼，间隔数为 9 - 4 = 5 个，那么需要的时间为 4×5 = 20 秒。
- 较难例题：一座高楼共 20 层，相邻两层之间有 15 级台阶，某人从 1 楼走到 15 楼，然后又从 15 楼走回 1 楼，一共走了多少级台阶？
- 解题思路：从 1 楼到 15 楼，间隔数是 15 - 1 = 14 个，一个间隔 15 级台阶，所以从 1 楼到 15 楼走的台阶数为 14×15 = 210 级。再从 15 楼走回 1 楼，走的台阶数同样是 210 级。一共走的台阶数为 210×2 = 420 级。
- 高难度例题：甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到 5 楼时，乙恰好跑到 3 楼，照这样计算，甲跑到 17 楼时，乙跑到多少楼？
- 解题思路：甲跑到 5 楼时，跑过的间隔数是 5 - 1 = 4 个；乙跑到 3 楼时，跑过的间隔数是 3 - 1 = 2 个。说明相同时间内甲跑的间隔数是乙的 4÷2 = 2 倍。甲跑到 17 楼时，跑过的间隔数是 17 - 1 = 16 个，那么此时乙跑过的间隔数是 16÷2 = 8 个，所以乙跑到的楼层是 8 + 1 = 9 楼。
四、敲钟问题
- 基础例题：时钟 3 点敲 3 下，6 秒敲完，那么 4 点敲 4 下，几秒敲完？
- 解题思路：敲钟时，间隔数 = 敲钟次数 - 1。3 点敲 3 下，间隔数为 3 - 1 = 2 个，用时 6 秒，所以每个间隔的时间是 6÷2 = 3 秒。4 点敲 4 下，间隔数为 4 - 1 = 3 个，总共需要的时间为 3×3 = 9 秒。
- 进阶例题：寺庙里的大钟 5 点敲 5 下，10 秒敲完，10 点敲 10 下，几秒敲完？
- 解题思路：5 点敲 5 下，间隔数是 5 - 1 = 4 个，用时 10 秒，所以每个间隔时间为 10÷4 = 2.5 秒。10 点敲 10 下，间隔数为 10 - 1 = 9 个，那么需要的时间为 2.5×9 = 22.5 秒。
- 中等难度例题：时钟 6 点敲 6 下，15 秒敲完，那么 12 点敲 12 下，用时多少秒？
- 解题思路：6 点敲 6 下，间隔数为 6 - 1 = 5 个，用时 15 秒，所以每个间隔用时 15÷5 = 3 秒。12 点敲 12 下，间隔数为 12 - 1 = 11 个，总共用时 3×11 = 33 秒。
- 较难例题：一个挂钟，1 点敲 1 下，2 点敲 2 下，……，12 点敲 12 下，每半点敲 1 下。从 1 点到 6 点，这个挂钟一共敲了多少下？
- 解题思路：1 点到 6 点整点时敲的次数为 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 下。1 点到 6 点之间有 5 个半点，所以半点敲的次数为 5×1 = 5 下。总共敲的次数为 21 + 5 = 26 下。
- 高难度例题：有一个报时钟，每敲响一下声音可持续 3 秒，如果敲响 6 下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要 43 秒。现在敲响 12 下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多少秒？
- 解题思路：敲响 6 下，间隔数为 6 - 1 = 5 个。声音持续的总时间为 43 秒，其中 6 下声音持续时间为 3×6 = 18 秒，那么间隔的总时间为 43 - 18 = 25 秒，所以每个间隔时间为 25÷5 = 5 秒。敲响 12 下，间隔数为 12 - 1 = 11 个，声音持续时间为 3×12 = 36 秒，间隔总时间为 11×5 = 55 秒，一共需要 36 + 55 = 91 秒。
五、队列问题
- 基础例题：同学们排队做操，每排站 15 人，每两人之间间隔 2 米，这一排队伍有多长？
- 解题思路：15 人排队，间隔数为 15 - 1 = 14 个。每两人之间间隔 2 米，所以队伍长度为 14×2 = 28 米。
- 进阶例题：学校运动会开幕式上，有一个 40 人的彩旗队，每 4 人一排，前后两排间隔 1.5 米，这个彩旗队全长多少米？
- 解题思路：40 人，每 4 人一排，则排数为 40÷4 = 10 排。10 排之间的间隔数为 10 - 1 = 9 个。前后两排间隔 1.5 米，所以彩旗队全长 9×1.5 = 13.5 米。
- 中等难度例题：36 个同学排成一列，每两个男生中间是两个女生，如果第一个是男生，这列队伍中女生有多少人？
- 解题思路：每两个男生中间是两个女生，可将 1 个男生和 2 个女生看作一组，那么一组有 1 + 2 = 3 人。36 人总共的组数为 36÷3 = 12 组。每组有 2 个女生，所以女生人数为 12×2 = 24 人。
- 较难例题：一个方阵花坛，最外层每边有 10 盆花，最外层一共有多少盆花？整个花坛一共有多少盆花？
- 解题思路：对于方阵问题，最外层盆数 = （每边盆数 - 1）×4。最外层每边有 10 盆花，所以最外层盆数为（10 - 1）×4 = 36 盆。整个方阵的盆数 = 每边盆数 × 每边盆数，即 10×10 = 100 盆。
- 高难度例题：同学们排成一个实心方阵，最外层一周的人数为 80 人，方阵外层每边有多少人？这个方阵共有多少人？
- 解题思路：方阵最外层一周人数 = （每边人数 - 1）×4，已知最外层一周人数为 80 人，那么每边人数 = 80÷4 + 1 = 21 人。整个方阵的人数 = 每边人数 × 每边人数，即 21×21 = 441 人。
