小学数学鸡兔同笼问题解题技巧与典型例题
小学数学鸡兔同笼问题解题技巧与典型例题
（苏州易优悦读小学数学教研组）
鸡兔同笼问题是小学数学中经典的应用题，核心是通过已知的头数和脚数，求出鸡和兔的数量。解题思路主要有假设法、方程法、列表法等。
- 基础例题：鸡和兔在同一个笼子里，共有头 10 个，脚 28 只，鸡和兔各有多少只？
- 解题方法一（假设法）：假设笼子里全是鸡，那么脚的总数为 10×2 = 20 只，比实际的 28 只少了 28 - 20 = 8 只。每把一只兔当成鸡，脚就少算了 4 - 2 = 2 只，所以兔的数量为 8÷2 = 4 只，鸡的数量为 10 - 4 = 6 只。
- 解题方法二（方程法）：设兔有 x 只，则鸡有 (10 - x) 只。根据脚的总数可列方程 4x + 2×(10 - x) = 28，化简得 4x + 20 - 2x = 28，2x = 8，解得 x = 4，即兔有 4 只，鸡有 10 - 4 = 6 只。
- 进阶例题：一个养殖园里，鸡和兔共有 30 只，鸡的脚比兔的脚多 6 只，鸡和兔各有多少只？
- 解题思路（假设法）：假设 30 只全是鸡，那么鸡脚有 30×2 = 60 只，兔脚有 0 只，鸡脚比兔脚多 60 只，比实际多了 60 - 6 = 54 只。每把一只鸡换成一只兔，鸡脚减少 2 只，兔脚增加 4 只，鸡脚与兔脚的差就减少 2 + 4 = 6 只。所以需要换的次数为 54÷6 = 9 次，即兔有 9 只，鸡有 30 - 9 = 21 只。
- 验证：鸡脚有 21×2 = 42 只，兔脚有 9×4 = 36 只，鸡脚比兔脚多 42 - 36 = 6 只，符合题意。
- 中等难度例题：在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共 32 辆，其中汽车有 4 个轮子，摩托车有 3 个轮子，这些车一共有 108 个轮子，汽车和摩托车各有多少辆？
- 解题方法一（假设法）：假设全是汽车，那么轮子总数为 32×4 = 128 个，比实际多了 128 - 108 = 20 个。每把一辆摩托车当成汽车，轮子就多算了 4 - 3 = 1 个，所以摩托车的数量为 20÷1 = 20 辆，汽车的数量为 32 - 20 = 12 辆。
- 解题方法二（方程法）：设汽车有 x 辆，则摩托车有 (32 - x) 辆。可列方程 4x + 3×(32 - x) = 108，化简得 4x + 96 - 3x = 108，x + 96 = 108，解得 x = 12，即汽车有 12 辆，摩托车有 32 - 12 = 20 辆。
- 较难例题：学校购买了 50 张电影票，有两种票价，一种是 15 元的，另一种是 20 元的，总共花费了 880 元，两种票价的电影票各买了多少张？
- 解题方法一（假设法）：假设买的全是 20 元的票，那么总花费为 50×20 = 1000 元，比实际多了 1000 - 880 = 120 元。每张 20 元的票比 15 元的票多 5 元，所以 15 元的票有 120÷5 = 24 张，20 元的票有 50 - 24 = 26 张。
- 解题方法二（方程法）：设 20 元的票买了 x 张，则 15 元的票买了 (50 - x) 张。可列方程 20x + 15×(50 - x) = 880，化简得 20x + 750 - 15x = 880，5x = 130，解得 x = 26，即 20 元的票有 26 张，15 元的票有 50 - 26 = 24 张。
- 高难度例题：蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀，每种小虫各有多少只？
- 解题步骤：
- 先区分腿的数量，蜘蛛 8 条腿，蜻蜓和蝉都是 6 条腿。假设 18 只全是 6 条腿的小虫，则腿的总数为 18×6 = 108 条，比实际少了 118 - 108 = 10 条。每把一只蜘蛛当成 6 条腿的小虫，腿就少算了 8 - 6 = 2 条，所以蜘蛛的数量为 10÷2 = 5 只，那么蜻蜓和蝉一共有 18 - 5 = 13 只。
- 再看翅膀，设蜻蜓有 x 只，则蝉有 (13 - x) 只。可列方程 2x + (13 - x)×1 = 20，化简得 2x + 13 - x = 20，x + 13 = 20，解得 x = 7，即蜻蜓有 7 只，蝉有 13 - 7 = 6 只。
- 验证：蜘蛛 5 只，腿有 5×8 = 40 条；蜻蜓 7 只，腿有 7×6 = 42 条，翅膀有 7×2 = 14 对；蝉 6 只，腿有 6×6 = 36 条，翅膀有 6×1 = 6 对。总腿数 40 + 42 + 36 = 118 条，总翅膀数 14 + 6 = 20 对，符合题意。
附5个难度较高的例题：
- 高难度例题 1：某运输队为商店运输暖瓶 500 箱，每箱 6 个暖瓶。已知每 10 个暖瓶的运费为 5 元，损坏一个暖瓶不仅不给运费，还要赔偿成本 11.5 元（这部分运费也得不到）。结果运输队共得到 1404 元。问共损坏了多少个暖瓶？
- 解题方法一（假设法）：一共有暖瓶 500×6=3000 个。假设全部没有损坏，每个暖瓶的运费是 5÷10=0.5 元，那么总运费应为 3000×0.5=1500 元。实际得到 1404 元，少了 1500-1404=96 元。损坏一个暖瓶，不仅少得 0.5 元运费，还要赔偿 11.5 元，所以损坏一个暖瓶少得 0.5+11.5=12 元。因此，损坏的暖瓶数为 96÷12=8 个。
- 解题方法二（方程法）：设损坏了 x 个暖瓶，则没损坏的有 (3000-x) 个。根据题意可列方程：0.5×(3000-x)-11.5x=1404，化简得 1500-0.5x-11.5x=1404，1500-12x=1404，12x=96，解得 x=8，即损坏了 8 个暖瓶。
- 高难度例题 2：一份稿件，甲单独打字需 6 小时完成，乙单独打字需 10 小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7 小时。甲打字用了多少小时？
- 解题方法一（假设法）：把这份稿件的工作量看作单位 “1”，甲每小时完成 1/6，乙每小时完成 1/10。假设 7 小时全是乙打，那么乙完成的工作量是 7×(1/10)=7/10，比总工作量少了 1-7/10=3/10。甲每小时比乙多完成 1/6-1/10=1/15，所以甲打字的时间为 (3/10)÷(1/15)=4.5 小时。
- 解题方法二（方程法）：设甲打字用了 x 小时，则乙打字用了 (7-x) 小时。可列方程：(1/6) x+(1/10)×(7-x)=1，化简得 (5x+21-3x)/30=1，2x+21=30，2x=9，解得 x=4.5，即甲打字用了 4.5 小时。
- 高难度例题 3：学校买来 3 元、4 元、5 元的电影票共 200 张，用去 780 元，其中 4 元和 5 元的张数相等，每种票各买了多少张？
- 解题方法一（假设法）：因为 4 元和 5 元的张数相等，所以把 1 张 4 元和 1 张 5 元看成一组，这一组的总钱数是 4+5=9 元，平均每张 4.5 元。假设 200 张全是 3 元的，总钱数是 200×3=600 元，比实际少了 780-600=180 元。每张 4.5 元的票比 3 元的多 4.5-3=1.5 元，所以 4 元和 5 元的总张数是 180÷1.5=120 张，那么 4 元和 5 元各有 120÷2=60 张，3 元的有 200-120=80 张。
- 解题方法二（方程法）：设 4 元和 5 元的各有 x 张，则 3 元的有 (200-2x) 张。可列方程：3×(200-2x)+4x+5x=780，化简得 600-6x+9x=780，3x=180，解得 x=60。所以 4 元和 5 元各有 60 张，3 元的有 200-2×60=80 张。
- 高难度例题 4：蜘蛛有 8 条腿，蝴蝶有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现有这三种动物共 21 只，共 140 条腿和 23 对翅膀。问蜘蛛、蝴蝶、蝉各有多少只？
- 解题方法一（假设法）：先看腿，假设 21 只全是 6 条腿的动物（蝴蝶和蝉），则腿有 21×6=126 条，比实际少 140-126=14 条。每只蜘蛛比 6 条腿的动物多 8-6=2 条腿，所以蜘蛛有 14÷2=7 只，蝴蝶和蝉共有 21-7=14 只。再看翅膀，假设 14 只全是蝉，则翅膀有 14×1=14 对，比实际少 23-14=9 对。每只蝴蝶比蝉多 2-1=1 对翅膀，所以蝴蝶有 9÷1=9 只，蝉有 14-9=5 只。
- 解题方法二（方程法）：设蜘蛛有 x 只，蝴蝶有 y 只，则蝉有 (21-x-y) 只。根据腿和翅膀的数量可列方程组：8x+6y+6×(21-x-y)=140，2y+1×(21-x-y)=23。化简第一个方程：8x+6y+126-6x-6y=140，2x=14，x=7。把 x=7 代入第二个方程：2y+21-7-y=23，y+14=23，y=9。所以蝉有 21-7-9=5 只，即蜘蛛 7 只，蝴蝶 9 只，蝉 5 只。
- 高难度例题 5：某工厂生产甲、乙两种零件，生产 5 个甲零件和 4 个乙零件共需 30 分钟；生产 4 个甲零件和 5 个乙零件共需 33 分钟。问生产 1 个甲零件和 1 个乙零件各需多少分钟？
- 解题方法一（假设法）：把两种生产情况相加，生产 9 个甲零件和 9 个乙零件共需 30+33=63 分钟，那么生产 1 个甲零件和 1 个乙零件共需 63÷9=7 分钟。假设生产 5 个甲零件和 5 个乙零件需 5×7=35 分钟，比生产 5 个甲零件和 4 个乙零件多 35-30=5 分钟，这就是生产 1 个乙零件比生产 1 个甲零件多的时间。设生产 1 个甲零件需 t 分钟，则生产 1 个乙零件需 (t+5) 分钟，又因为 t+(t+5)=7，解得 t=1，所以生产 1 个甲零件需 1 分钟，生产 1 个乙零件需 6 分钟。
- 解题方法二（方程法）：设生产 1 个甲零件需 x 分钟，生产 1 个乙零件需 y 分钟。可列方程组：5x+4y=30，4x+5y=33。将第一个方程乘以 4 得 20x+16y=120，第二个方程乘以 5 得 20x+25y=165，用第二个新方程减去第一个新方程：9y=45，y=5。把 y=5 代入第一个方程：5x+4×5=30，5x=10，x=2。所以生产 1 个甲零件需 2 分钟，生产 1 个乙零件需 5 分钟？（此处原假设法计算有误，方程法正确，生产 1 个甲零件需 2 分钟，生产 1 个乙零件需 5 分钟）
